Wieviel Energie steckt im Wasser?
Welches Energiepotenzial ein Gewässer in sich birgt, hängt von verschiedenen Faktoren ab: Zum einen speichert hoch gelagertes Wasser potenzielle Energie, während das fließende Gewässer kinetische Energie speichert.
Berechnung der Leistung über Bernoulli
Die Bernoulli’sche Druckgleichung beschreibt den Gesamtdruck eines Fluidums mit der Dichte als Summe der drei Druckkomponenten:
Der hydrostatische Druck wird nach Blaise Pascal vorwiegend durch die Höhe als variable Größe bestimmt:
(Gleichung 1)
Der dynamische Druck wird dagegen durch die Geschwindigkeit beeinflusst:
(Gleichung 2)
Dabei sind:
-
p = Druck,
-
= Dichte (Wasser bei 20°C: 999,9 kg/m3)
-
h = Höhe bzw. Höhendifferenz (h)
-
v = Strömungsgeschwindigkeit
Bernoulli-Gleichung:
(Gleichung 3)
Energie (E) wird allerdings erst freigesetzt, wenn durch diesem Druck Arbeit geleistet wird. Die Höhe als solche in der pascal’schen Formel gewinnt energetisch nur an Bedeutung, wenn sie als Höhendifferenz (h) betrachtet wird. In der Betrachtung des Staudrucks ist die Geschwindigkeit (v) die entscheidende Variable, denn die Dichte des Fluidums ist konstant. Auch hier liegt der energetisch relevante Anteil in der Differenz der Geschwindigkeiten vor Eintritt in das System und an dessen Ausgang. Als konstant darf auch der Atmosphärendruck (geodätischer Druck) angenommen werden. Näherungsweise beträgt die Änderung des Luftdrucks in Bodennähe rund 1 hPa auf einer Höhendifferenz von 8 m. Bei Flusskraftwerken oder Anlagen mit geringer Fallhöhe kann daher der atmosphärische Druck in der Berechnung vernachlässigt werden. Auch bei mittleren Anlagen liegen die Einflüsse im Promille-Bereich. Die umgesetzte Energie ermittelt sich aus dem Druck und der resultierenden Volumenänderung des betrachteten Systems:
(Gleichung 4)
Wird das Volumen als Produkt von (durchflossener) Fläche (A) und dem Weg (s) dargestellt und mit der Zeit erweitert, so lässt sich die Beziehung folgendermaßen als Produkt der Fließgeschwindigkeit
und der durchflossenen Fläche darstellen:
(Gleichung 5)
Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen kann Gleichung 3 in Gleichung 5 eingesetzt und durch Ausklammern sowie Umstellen der Formel die dem Gewässer entnehmbare entnehmbare Leistung errechnet werden:
(Gleichung 6)
bzw.
(Gleichung 7)
Die Zusammenhänge um Gleichung 5 nachvollziehen zu können, zeigt die Tabelle.
In Gleichung 7 sind in der Klammer zwei wesentliche Summanden zu erkennen, die den jeweiligen Energiegehalt – hier in einer Leistungsgleichung nach Gleichung 6 dargestellt – verkörpern. Der Ausdruck h ist die Fallhöhe zwischen dem Ober- und dem Unterwasserspiegel. Dies entspricht dem potenziellen Energieanteil.
(Gleichung 8)
Der kinetische Energieanteil (vgl. Gleichung 8) wird nur wirksam, wenn sich die Strömungsgeschwindigkeit nach dem Turbinendurchlauf reduziert. In Gleichung 7 werden zudem mit dem Gesamtwirkungsgrad absolut pauschal die Verluste in den Wasserführungen sowie in der Turbinenanlage erfasst.
| Größe |
Einheit |
Bezeichnung in der Formel |
| Spezifisches Gewicht () |
 bzw.  |
Das spezifische Gewicht () entspricht dem Produkt aus spezifischer Dichte () des Fluidums und der Erdbeschleunigung (g):  . Über diese Beziehung kann die Dichte durch das spezifische Gewicht und die Erdbeschleunigung substituiert werden. |
Wassermenge (Q)
auch: Volumenstrom ( ) |
 |
Die Wassermenge (Q) errechnet sich aus dem Produkt der Strömungsgeschwindigkeit (v) und dem durchströmten Querschnitt (A) |
| Atmosphärendruckdifferenz p0(h) |
hPa |
Die Druckdifferenz ist mit  vernachlässigbar. Der Wert gilt in Bodennähe. |
| Leistung P |
W |
 |
Ausdruck als „Energiehöhe“
Der in Gleichung 8 zu sehende Term beschreibt eine Strecke und kann als Höhe beschrieben und deswegen wie folgt interpretiert werden:
(Gleichung 9)
Deutlich wird dies, wenn man die Einheitenprobe macht und für die Geschwindigkeit (v) und die Beschleunigung (g) entsprechend schreibt:
(Gleichung 10)
Die Betrachtung der Gleichung 7 (und 9) zeigt, dass die entnehmbare Leistung durch die Wassermenge (Q) bzw. den Volumenstrom und den energetischen Höhen darstellbar ist. In den meisten Kraftwerksanlagen ist der Anteil der potenziellen Energie für die Energieumsetzung relevant. Dies hängt jedoch vom Kraftwerkstyp ab. Der kinetische Energieanteil wird beispielsweise von unterschlächtigen Wasserrädern oder in reinen Strömungskraftwerken ausgenutzt. Diese lassen sich bei geringen Fallhöhen betreiben, erfordern aber einen großen Durchfluss. Zudem kann der kinetische Energieanteil des aus einer Turbine austretenden Volumenstroms – mithilfe eines als Diffusor ausgeführten Saugrohres – die nutzbare Energiehöhe vergrößern.
Leistung aus dem rein potenziellen Energieanteil:
(Gleichung 11)
Leistung aus dem rein kinetischen Energieanteil:
(Gleichung 12)
Die Gleichung 12 beschreibt den rein kinetischen Energieanteil, wie er von einem unterschlächtigen Wasserrad genutzt werden kann. Das Wasserrad bzw. auch ein Strömungskraftwerk bremst die Fließgeschwindigkeit des Fluids. Somit bestimmt die Differenz von Ein- und Austrittsgeschwindigkeit die nutzbare Energie.
Erdbeschleunigung ist keine Konstante!
In Mitteleuropa wird für die Erdbeschleunigung pauschal der Wert von 9,81 m/s2 verwendet. Global betrachtet schwankt der Wert jedoch und beträgt am Äquator 9,78 m/s2 bzw. an den Polen 9,83 m/s2. Werden weltweit Wasserkraftanlagen geplant, ist dies zu berücksichtigen.
(rs/01-2016)
